企业管理专题讲义（精选5篇）
篇1：企业管理专题讲义
企业员工素质培训课程讲义
6S运动的起源
– 6S是在5S的基础上增加了“安全”。
– 5S起源于日本,整理、整頓、清扫、清洁、素养日文的希腊发音为“S”开头故而得名，指的是在生产现场中对人员、机器、材料、方法等生产要素进行有效管理,是日式企业独特的一种管理方法，现也用于办公场所。
– 1955年，在日本推行了前面2S，其宣传口号为“安全始于整理整頓，终于整理整頓”，其目的是为了确保作业空间和安全，后因生产控制和品质控制的需要，而逐步提出后续3S，即“清扫”、“清洁”、“素养”。
– 1986年，首本5S著作问世，从此掀起5S热潮。
– 注：很多公司推行7S，即在6S的基础上增加了节约（SAVE）。
–6S的定义
– 整理(Seiri):
区分要与不要,并將不要物由权威单位判定后清除。
– 整頓(Seiton):
将必要物定点、定量、定位并标示,以便让任何人使用时易拿取及放回原处。
– 清扫(Seiso):
彻底清理,打扫各处所,将看得見与看不见的地面、角落、桌椅、设备等打扫干净,让问题点显露无遗。
– 清洁(Seiketsu):
指彻底执行整理、整頓、清扫,即彻底改善整理、整頓、清扫三阶段所发现的问题点(杜绝乱源).想尽办法维持各处所的洁净,光亮。
– 教养(Shutsuke):
透过各种教育训练及活动推行,使每个人都由心态上养成遵守规则并快乐于遵守各类标准和规定,而不是只有表面的因循敷衍。
– 安全(Safety):
识别存在安全隐患的问题点，采取措施消除
企业通常存在病态现象
1仪容不整或穿着不整的工作人员。
症状:缺乏一致性,不易塑造团队精神,看起来懶散,影响工作士气，不易识別,妨碍沟通协调。
2.机器设备摆放不当。
症状:作业流程不流暢,增加搬运不便,虛耗工時。
3.机器设备保养不良。
症狀:影响设备使用寿命及精度,从而直接影响生产效率及生产品质。
4.原物料、半成品、成品、整修品、报废品随意摆放。
症状:容易混料,浪费寻找时间,看不出物品的数量,且易造成堆积。
5工具乱摆放。
症状:影响寻找效率,且工具易损坏。
6.运料通道不当。
症状:物品搬运时间增加,且易生危险。
7.工作人员的座位或坐姿不当。
症状:易疲劳;有碍观察,影响士气。
综上述不良症状,可概括为:资金、场所、人员、士气、形象、效率、品质、成本的浪费,推行6S的八大目的做一件事情，有时非常顺利，然而有时却非常棘手，这就需要5S来帮助我们分析、判断、处理所存在的各种问题。实施6S，能为我们的公司带来巨大的好处，可以改善企业的品质，提高生产力，降低成本，确保准时交货，同时还能确保安全生产并能保持并不断增强员工们高昂的士气。
因此，企业有人、物、事等三方面安全的三安原则，才能确保安全生产并能保持员工们高昂的士气。一个生产型的企业，人员的安全受到威胁，生产的安全受到影响，物品的安全受到影响，那么人心就会惶惶不安，员工就会大量流失，就会影响到企业的生产、经营及经济效率，使企业严重地缺乏甚而根本没有凝聚力和向心力而如同一盘散沙，导致企业濒临破产，甚至分崩离析。所以，一个企业要想改善和不断地提高企业形象，就必须推行6S计划。推行6S最终要达到八大目的：
1．改善和提高企业形象
整齐、整洁的工作环境，容易吸引顾客，让顾客心情舒畅；同时，由于口碑的相传，企业会成为其它公司的学习榜样，从而能大大提高企业的威望。
2．促成效率的提高
良好的工作环境和工作氛围，再加上很有修养的合作伙伴，员工们可以集中精神，认认真真地干好本职工作，必然就能大大地提高效率。试想，如果员工们始终处于一个杂乱无序的工作环境中，情绪必然就会受到影响。情绪不高，干劲不大，又哪来的经济效益？所以推动6S，是促成效率提高的有效途径之一。
3．改善零件在库周转率
需要时能立即取出有用的物品，供需间物流通畅，就可以极大地减少那种寻找所需物品时，所滞留的时间。因此，能有效地改善零件在库房中的周转率。
4．减少直至消除故障，保障品质
优良的品质来自优良的工作环境。工作环境，只有通过经常性的清扫、点检和检查，不断地净化工作环境，才能有效地避免污损东西或损坏机械，维持设备的高效率，提高生产品质。
5．保障企业安全生产
整理、整顿、清扫，必须做到储存明确，东西摆在定位上物归原位，工作场所内都应保持宽敞、明亮，通道随时都是畅通的，地上不能摆设不该放置的东西，工厂有条不紊，意外事件的发生自然就会相应地大为减少，当然安全就会有了保障。
6．降低生产成本
第六个目的，强调的是降低生产成本。一个企业通过实行或推行5S，它就能极大地减少人员、设备、场所、时间等这几个方面的浪费，从而降低生产成本。
7．改善员工的精神面貌，使组织活力化
第七个目的，可以明显地改善员工的精神面貌，使组织焕发一种强大的活力。员工都有尊严和成就感，对自己的工作尽心尽力，并带动改善意识形态。
8．缩短作业周期，确保交货
推动 6S，通过实施整理、整顿、清扫、清洁来实现标准的管理，企业的管理就会一目了然，使异常的现象很明显化，人员、设备、时间就不会造成浪费。企业生产能相应地非常顺畅，作业效率必然就会提高，作业周期必然相应地缩短，确保交货日期万无一失了。
一个企业如果全力地推动6S，就可以培养员工的主动性和积极性，从而能有效地降低生产成本，改善零件在库房中的周转率，促进效率的提高；就可以提高管理的水平，改善企业的经营状况。即推行6S，第二个层面就是都能给人和设备创造一种十分适宜的环境。
最后要让企业组织的每个成员都能由内而外地散发出团队及合作精神。精神面貌的改善就能使企业的形象得到提升，就会形成一种自主改善的机制。
6s的八大作用
亏损为零
不良为零
浪费为零 故障为零 切换产品时间为零事故为零 投诉为零
缺勤为零
这样的工厂，我們就称之为〞八零工厂〞。
推行6S的八大作用
推行6S有八个作用：亏损、不良、浪费、故障、切换产品时间、事故、投诉、缺陷等8个方面都为零，有人称之为“八零工厂”。
1．亏损为零——6S是最佳的推销员
这个企业至少在行业内，被称之为最干净和整洁的代表。
没有缺陷，没有所谓的不良，配合度非常好的声誉，口碑在客户之间相传，忠实的客户就会越来越多。
知名度也会提高，很多人都会慕名来参观你的企业。
人们都会抢着购买这家工厂所生产的产品。
整理、整顿、清扫、清洁和修养维持得很好，相应地就会形成一种习惯。以整洁作为追求目标之一的工厂具有更大的发展空间。
2．不良为零——6S是品质零缺陷的护航者
产品严格地按标准要求进行生产。
干净整洁的生产场所可以有效地大大提高员工的品质意识。
机械设备的正常使用和保养，可以大为减少次品的产生。
员工应明了并做到事先就预防发生问题，而不能仅盯在出现问题后的处理上。
环境整洁有序，异常现象一眼就可以发现。
3．浪费为零——6S是节约能手
6S的推动能减少库存量，排除过剩的生产，避免零件及半成品、成品的库存过多。若工厂内没有6S，则势必因零件及半成品、成品的库存过多而造成积压，甚而致使销售和生产的循环过程流通不畅，最终企业的销售利润和经济效益的预期目标将难以实现。
避免库房、货架或货架以外“天棚”的过剩。
避免踏板、台车、叉车等搬运工具的过剩。
避免购置不必要的机器、设备。
4．故障为零——6S是交货期的保证
工厂无尘化。
无碎屑、屑块、油漆，经常擦拭和进行维护保养，机械使用率会提高。
模具、工装夹具管理良好，调试寻找故障的时间会减少，设备才能稳定，它的综合效能就可以大幅度地提高。
每日的检查可以防患于未然。
5．切换产品时间为零——6S是高效率的前提
模具、夹具、工具经过整顿随时都可以拿到，不需费时寻找，它可以节省时间。要知道在当前这个时代，时间就是金钱和高效率。
整洁规范的工厂机器正常运作，作业效率可以大幅度地提升。
彻底贯彻6S，让初学者和新人一看就懂，一学就会。
6．事故为零——6S是安全的软件设备
整理、整顿后，通道和休息场所都不会被占用。
工作场所的宽敞明亮使物流一目了然，人车分流，道路通畅，减少事故。
危险操作警示明确，员工能正确地使用保护器具，不会违规作业。
所有的设备都进行清洁、检修、预防、发现存在的问题，消除了安全隐患。
消防设施的齐备，灭火器放置定位，逃生路线明确，万一发生火灾或者地震，员工的生命安全必然会有所保障。
7．投诉为零——6S是标准化的推动者
工作既方便又舒适，而且每天都有所改善，并有所进步；
每天都在清点、打扫、进步。
8．缺勤为零——6S可以创造出快乐的工作岗位
一目了然的工作场所，没有浪费，无勉强而不拘束，岗位明确、干净，没有灰尘、垃圾；
工作已成为一种乐趣，员工不会无缘无故地旷工。
通过6S，企业能健康而稳定地发展，逐渐发展成为对地区有贡献，甚至成为世界级的企业。
通过推行6S，使企业能快速健康地发展。至少能达到四个相关的满意。
图2-2四个相关满意图
△投资者满意(IS──Investor Satisfaction)
即通过6S，使企业达到更高的生产及管理境界，投资者可以获得更大的利润和回报。△客户满意(CS──Customer Satisfaction)
表现为高质量、低成本、交期准、技术水平高、生产弹性高等特点。
△雇员满意(ES──Employ Satisfaction)
效益好，员工生活富裕，人性化管理使每一个员工都可获得安全、尊重和成就感。△社会满意(SS──Society Satisfaction)
企业对区域有杰出的贡献，热心于公益事业，支持环境保护，这样的企业有良好的社会形象。总之，推动6S应该把握三个原则：
●每一个员工都能做好自我管理。
●每一个员工都能节省进而根除浪费，养成勤俭创业的好习惯。
●每一个员工感觉到推动6S，只有持之以恒才能见效。
6S内涵-----八字经
整理：要与不要，一留一弃；
整顿：科学布局，取用快捷；
清扫：清除垃圾，美化环境；
清洁：洁净环境，贯彻到底；
素养：形成制度，养成习惯；
安全：遵守规范，防患未然;
编制：姚支丹日期：2011.11.25
篇2：企业管理专题讲义
（一）主讲教师：李红梅 北京海淀区语文高级教师
考点梳理
初一“备材”——观察积累、贯通写法 初二“熔钢”——融通材料、训练能力 初三“出鞘”——厚积薄发、剑拔出鞘
症状：
主次颠倒——详略失当
漫无节制——详写无度
堆砌材料——笔墨平均
病文诊断
他是一道风景线
①人们所说的风景线，不是美丽山峦，就是夕阳夜景；不是深蓝星空，就是碧绿大海；不是初生太阳，就是清新森林。而我说出来的不是这种风景线，而是一种更美，更让人记忆深刻的风景线。
②一切从我一次旅游开始。
③记得在原来的一个暑假，爸爸答应带我和妈妈一起去海边玩。我高兴的一蹦三尺高！每一秒都在叫爸爸妈妈赶紧收拾东西。我们的目的地是大连，等上了火车，我却怎么也安静不下来。脑子中一直在想：我一定要下水多游一会儿，欣赏欣赏大连海边的美丽风景。一路上我几乎都是在亢奋的状态下，直到下火车前的两个小时，我才迷迷糊糊地睡了一会儿。
④“起来了！到了！”随着这个消息我惊醒了，马上下了火车，赶到了海边。真是人山人海啊，全沙滩挤满了人，我换上泳衣直奔海边，一跃，我便跳下水。游了一会，我累了，回到了岸上。
⑤我坐下来。忽然一道景观跃入眼帘：一个小孩和一个年轻人正在一起捡沙滩上废弃塑料袋、瓶子等垃圾。他们是那样的投入。一会儿，那个年轻人直起身来走开了，但那个小孩却还在专心致志地捡着。我回过神来，放眼望去，地上全是垃圾。是那些不守规矩的游人扔的。他一个个捡着，一副旁若无人的样子。我想：一个比我小的孩子都这样，我不但不可以乱扔，还要帮他捡呢！于是，我一下子不累了，马上站起来，加入了这个队伍。从我脚下的东西捡起。几分钟过去了，我脚下的东西捡干净了，抬头一看，他还在。我越发觉得他和身后的大海组成了一道风景线。
⑥最后，那个孩子不知什么时间离开了，我却发觉地上干净多了。我猜那个孩子一定是捡干净沙滩，快乐地走了。我又下水游泳了，真希望游客不再乱扔东西。
⑦游玩回来后，我并不为没玩多长时间伤心，因为我看见了一道最美丽的风景线。
探讨分析
这是一篇全命题作文，没有任何材料和提示语。只给了《他是一道风景线》的命题，那么我们在思考的时候从审题切入，来看：小作者选取了在大连海滩上看见一个孩子捡垃圾的事件，就事件本身看，在游人如织的海边，人们热衷于冲浪、游泳、晒太阳等活动，而一个小孩子在捡拾废弃物的情景，的确能成为与众不同的风景，的确很容易进入他人的视野，尤其是捡拾垃圾的行为和当时放眼望去尽是垃圾的背景形成反差，很契合“一道风景线”的标题。
第页
那么，我们首先认同小作者是想用“小孩子捡垃圾”的事件来突出“风景线”中心，然后从中有所感悟有所收获吧。
但是我们再来看文章，在文章中“捡垃圾的小孩子”是从第5段开始进入读者视线的，在第6段的时候，已经悄无声息地离开了，对于全文的700字来说，作者写“风景线”只有近300字，从比例上占了文章少部分，而大量笔墨都用来写了自己前往大连时激动和兴奋的心情，这与“风景线”的中心和主题是无关的。所以说，这篇文章犯了详略安排失当的毛病——这也是作文得高分的一大障碍。
要点强调
——详略安排对作文而言真的这么重要么？
在一个深夜里，著名的雕塑家罗丹好不容易完成了巴尔扎克的雕像，非常满意，连夜叫醒了他的学生来欣赏雕像。他的学生把雕像反复地看了个够。后来，目光渐渐地集中在雕像的手上：巴尔扎克的那双手叠合起来，放在胸前，十分逼真。学生们不禁连声地说：“好极了，老师，我可从没见过这样一双奇妙的手啊！”罗丹的脸上笑容消失了。他突然走到工作室的一角，提起一把大斧，直奔雕像，砍掉了那双“完美的手”。
罗丹为什么要砍掉那双“完美的手”？
罗丹的雕像是要表现巴尔扎克的精神、气质，现在人们看了雕像，只欣赏手的完美，而忽略了主要的内容，忽略了罗丹雕塑所要表达的中心意思。所以，尽管次要部分再精彩，也要毫不吝惜地砍去，以突出一件艺术品所要表现的重要意义。
雕塑是这样，写作文也是如此。
学法点拨
——对一篇文章而言，如何确定文章的详略呢？ 朱自清先生的《背影》
第一次：开篇“我最不能忘记的是他的背影” 第二次：“父亲”过铁道买橘子时的背影 第三次：在车站离别时的背影
第四次：文章的末尾，是思念中的背影
文中，作者选择了四次背影来写，本文的中心是通过父亲的背影来体现父亲对儿子厚重而深沉的父爱。因此，父亲买橘子爬上爬下的背影是写得最详细的，因为这一环节最能体现深沉无言的父爱这一中心。
《背影》中，选择了四次背影来写，本文的中心是通过父亲的背影来体现父亲对儿子厚重而深沉的父爱。因此，父亲买橘子爬上爬下的背影是写得最详细的，因为这一环节最能体现深沉无言的父爱这一中心。
详写：突出表现文章中心意思的材料---主要的材料。
再如：父子离别时的家庭境况，虽不是文章的中心，但却为写“背影”渲染了悲凉的气氛，同表现中心有关联，因此采取略写。
略写：与表现文章的中心意思有关联的材料---次要的材料。
第页
实战练兵
作文题：《心中的阳光》
母爱，是我心中的阳光，给我寒冷的世界带来温暖；友情，是我心中的阳光，在我困难的时候伸出援手；恩师，是我心中的阳光，在我迷惘的时候指点迷津；理想和信念，是我心中的阳光，照亮我前行的道路„„请以“心中的阳光”为题，写一篇记叙文。
下面是某位同学《心中的阳光》的写作提纲： 哪些段应该详写，哪些段应该略写？为什么？
第一段：因为学习的紧张，又担任着多种工作，早上向老师递交了班干部辞职书。第二段：写自己矛盾得不知如何抉择的心情。
第三段：老师约我去办公室谈心，老师的神态和话语给了我温暖的感受。
第四段：我想到平日老师和同学对我无私的帮助和支持，使我的心中充满阳光。第五段：总结全文：成长的道路不平坦，但阳光伴我左右。
〖病文诊断〗
心中的阳光
①渐入冬季，天越来越冷，寒风呼啸，刺人肌骨，我经常在很冷的天气中瑟瑟发抖，而冬季的阳光，却给了我温暖的感受。我心中留存的那种美好的友谊，就像这冬日温暖的阳光一样，不时在寒风中温暖着我的心。友谊，你就是我心中永恒的阳光。
②那天早上，我到了学校，看了看柜子上的课表，数学、语文、英语、物理，下午的课程还有四门，心里不由得叫苦连天：今天这么多书，这可怎么往教室里面搬啊！说实话，每天从储物柜往教室里运送书本都是一个痛苦的过程，每天这个过程都叫我头痛不已。有一天，因为我忘带了数学练习册，还遭到了老师的批评。还有一次，因为我往返于储物柜和教室之间三次，老师就点名说我的动作慢。哎，加上现在衣服厚了，这就更难了。
③我认命般地叹了口气，脱下外套，把衣服放进柜子里。刚想合上柜门，发现书包还在地上，弯下腰捡了半天也没捡起来。
④这时，明豫走了出来，看到我这个姿势，便帮我拿了书，并催我快进班，因为要收作业了。我赶忙把书包放进柜子里，不料柜里的书却掉了出来。我从明豫的手里接过我的书，但她却走在我前面闪身进了班。
⑤我走进班，才发现桌上的椅子已被放在地上，原来又是明豫帮了我。后来，我又发现自己忘带钱了，明豫又一次帮助了我。
⑥我感动于发生在我身上的任何一件小事。这一件件小事，它虽微不足道，却让我倍感温暖。生活中，这样的小事数不胜数，有的是老师对我的关爱，有的是父母对我的叮咛，有的是朋友对我的帮助。许许多多的往事，都如电影画面似的一幕幕地从我的眼前放过，有些事我都已经忘却，但每一件往事带给我的感动与温暖，却如冬日的阳光，暖融融的。
⑦进入冬季，天很冷，不是大风就是下雪，很难有暖和的天气。可这同学间的关爱，这珍贵的友谊，却如春日暖阳，照耀着我的心田，让我在寒冷的风中奋然前行，没有任何的畏惧，没有丝毫的胆怯。
〖诊断处方〗
1.写作的详略由文章的中心决定，那么，本文的中心是什么？
通过朋友在我困难的时候伸出援手，给予我温暖的帮助一事，表达“友谊，是我心中的阳光”的中心。
第页
2.你认为哪些段应该详写，哪些段应该略写？为什么？
一段二段应该略写，三段四段五段详写，详写的部分是表现文章中心的具体事件。六七段略写。③我认命般地叹了口气，脱下外套，把衣服放进柜子里。刚想合上柜门，发现书包还在地上，弯下腰捡了半天也没捡起来。
④这时，明豫走了出来，看到我这个姿势，便帮我拿了书，并催我快进班，因为要收作业了。我赶忙把书包放进柜子里，不料柜里的书却掉了出来。我从明豫的手里接过我的书，但她却走在我前面闪身进了班。
⑤我走进班，才发现桌上的椅子已被放在地上，原来又是明豫帮了我。后来，我又发现自己忘带钱了，明豫又一次帮助了我。3.本文的病症是什么？
〖对症下药〗
心中的阳光
①渐入冬季，天越来越冷，而我却因为友谊在心间射下的那一缕阳光而倍感温暖。
②那天早上，我到了学校，看了看柜子上的课表，心里一阵叫苦连天：今天这么多书，这可怎么往里面搬啊！每天这个运输过程都叫我头痛不已，加上现在衣服厚了，这就更难了。
③我认命般地叹了口气，脱下外套，把衣服放进柜子里。慢慢地把书一本一本拿出来，书一多，手就拿不住了。我用膝盖顶住柜子，把书放在大腿上，来了个“金鸡独立”，这才解放了我的右手。拿出最后两本书，刚想合上柜门，发现书包还在地上，弯下腰捡了半天也没捡起来，腿却有点酸了，真是进退两难。
④这时，明豫走了出来，看到我这个姿势心里便了然。她走到我面前，把我大腿上支着的一厚摞书拿了起来，我顿时感到腿上一轻。我充满感激地对她一笑，她看着我道：“快点吧，要收作业了。”我赶忙把书包拎起来，半抡似的把它丢进柜子里，不料柜里剩得不多的书却掉了出来。我草草地把书一捡，合上柜门，转身便看到明豫正帮我把折了的书角弄平。我心头一热，赶忙从她手里接过我的书，呵，还挺沉。明豫看了我一眼，向她的柜子走去，刚走了一步，又飞速地折了回来，闪在我前面进了班。
⑤这人这么急干什么？我心里不解。摇了摇头，大步走进班里。走到我的位子前面，心里又是惊喜又是感动——我的椅子已经放了下来，原来又是明豫帮的忙！琦从后面一推我，说道：“哎，大早上的愣什么神！收作业了！对了，你把18的零„„”“啊呀！”我没等她那“钱”字出口便是一声惊叫——我又忘了！琦瞥了我一眼，一副我就知道的样子，指了指我的位子，说：“你哦！人家明豫就知道你又忘记了，这不，早给你准备了这18的零钱，明儿别忘了还她！”我心里涌起一股暖流。我看了一眼正在交各项作业的明豫，在心里郑重地说了声——谢谢！
⑥我感动于这一件小事，它虽微不足道，却让我倍感温暖。生活中，这样的小事数不胜数，也许有些小事我都已经忘却，但每每那时带给我的感动与温暖，却清晰如昨。
⑦冬季的天气依旧寒冷，可这同学间的关爱，这珍贵的友谊，如春日暖阳，温暖着我的心间。
〖学以致用〗
结合本节课所学内容，将第一篇病文《他是一道风景线》修改，做到详略得当。
备注：此讲无课后练习下载。
篇3：栖息谷管理社区·专题推荐
猪肉涨了, 食用油也涨了, 蔬菜一天一个价, 成品油也提价了, 而呼声一度很高的调薪潮在现实中却渐行渐弱。随着通货膨胀的肆无忌惮, 各种危机负担威胁企业, 一股降薪裁员的冷流席卷而来。咱们衣食住行方面的成本越来越高, 生活压力越来越大, 口袋里的百元大钞, 没扑腾几下就无影无踪了。作为普通老百姓, 生活质量是否有保证?
透视“歧视门”, 法律援助与心理建设同行
职场压力犹如白领头上的“紧箍咒”, 它时刻影响着职场人士的身心健康。IBM“歧视门”事件、华为员工自杀等都与之有着直接的关系。我们在呼吁企业社会责任, 推进法律法规完善的同时, 更应该从心理健康的角度关注我们的生活质量。
一生的计划:理财知识及案例
理财是一份规划, 是对未来买房、买车、子女教育、退休养老方面的财富增值计划。它不仅考虑财富的积累, 更注重财富的保障, 而不是暴富的工具。
篇4：案例分析专题辅导讲义
一、、课程性质及基本要求 《例分析专题》是中央广播电视大学法学专业专科段的选修课程，属于统服性质的课程，即区电大自开课。要求学生在学完本课程后，能够比较全面地了解、掌握我国刑法、民法、婚姻家庭法等的基本内容，并能在此基础上具备基本的对典型案例分析和解决实际问题的能力。为以后参加国家司法考试奠定一定的基础。
二、、学习的基本方法
1、认真阅读主教材；《法学典型案例分析》主编陈军，哈尔滨工程大学出版；
2、、参加适当的面授辅导；
3、学会自主学习；
4、熟读相关的法律、法规；
5、、结合司法实践，学会分析基本的案例方法。
案例来源： 2011司法考试案例分析专题
三、、有关课程考核说明
1、本课程考试命题以课程考核说明为依据，由区电大统一命题；
2、本课程的考试重点就是案例分析；
3、、形成性考核形式为平时作业有两次，网上可以直接下载；期末考试形式为闭卷笔试；期末考试的答题时限为90分钟；
4、试题类型全是主观性试题。主观性主观性试题题型一般为4--5个案例分析题。第一部分刑事案例
一、犯罪构成是指依照中国刑法规定某一具体行为的社会危害性及其程度，为该行为构
成犯罪所必需的一切客观和主观要件的有机统一，是使行为人承担刑事责任的根据。任何一种犯罪的成立都必须具备四个方面的构成要件，即犯罪主体、犯罪主观方面、犯罪客体和犯罪客观方面。
二、受贿罪的犯罪构成及量刑标准
[释义]
受贿罪是指国家工作人员利用职务上的便利，索取他人财物，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的行为。
[刑法条文]
第三百八十五条国家工作人员利用职务上的便利，索取他人财财物的，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的，是受贿罪。国家工作人员在经济往来中，违反国家规定，收受各种名义的回扣、手续费，归个人所有的，以受贿论处。
第三百八十六条对犯受贿罪的，根据受贿所得数额及情节，依照本法第三百八十三条的规定处罚。索贿的从重处罚。
第三百八十八条国家工作人员利用本人职权或者地位形成的便利条件，通过其他国家工作人员职务上的行为，为请托人谋取不正当利益，索取请托人财物或者收受请托人财物的，以受贿论处。
第三百八十三条对犯贪污罪的，根据情如轻重，分别依照下列规定处罚：
（一）个人贪污数额在十万元以上的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，可以并处没收
财产；情节特别严重的，处死刑，并处没收财产。
（二）个人贪污数额在五万元以上不满十万元的，处五年以上有期徒刑，可以并处没收财
产，情节特别严重的，处无期徒刑，并处没收财产。
（三）个人贪污数额在五千元以上不满五万元的，处一年以上七年以下有期徒刑，情节严
重的，处七年以上十年以下有期徒刑，个人贪污数额在五千元以上不满一万元，犯
罪后有悔改表现、积极退赃的，可以减轻处罚或者免予刑事处罚，由其所在单位或者上级主管机关给予行政处分。
（四）个人贪污数额不满五千元，情节较重的，情节较重的，处二年以下有期徒刑或者拘
役；情节较轻的，由其所在单位或者上级主管机关酌情给予行政处分。
第一百六十三条公司、企业的工作人员利用职务上的便利，索索取他人财物或者非法收受他人财物，为他人谋利益为他人谋利益，数额较大的，处五年以下有期徒刑或者拘役，数额巨大的，处五年以上有期徒刑，可以并处没收财产。公司、企业的工作人员在经济往来中，违反国家现定，收受各种名义的回扣、归个人所有的，依照前款的规定处罚。国有公司、企业中从事公务人员和国有公司、企业委派到非国有公司、企业从事公务的人员有前两款行为的，依照本法第三百八十五条、第三百八十六条的规定定罪处罚。
第一百八十四条银行或者其他金融机构的工作人员在金融业务活动中索取他人财物或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的，或者违反国家规定，收受各种名义的回扣、手续费，归个人所有的，依照本法第一百六十三条的规定定罪处罚，国有金国有金融机构工作人员和国有金融机构委派到非国有金融机构从事公务的人员有前款行为的，依照本法第三百八十五条、第三百八第三百八十六条的规定定罪处罚。
第九十三条本法所称国家工作人员，是指国家机关中从事公务的人员。国有公司、企业、事业单位、人民团体中从事公务的人民和国家机关、国有公司、企业、事业单位委派到非国有公司、企业、事业单位、社会团体从事公务的人员，以及其他依照法律从事公务的人员，以国家工作人员论。
第三百九十九条司法工作人员询私枉法、殉情枉法，对明知是无罪的人而使他受追诉、对明知是有罪的人而故意包庇不使他受追诉，或者在刑事审判活动中故意违背事实和法律作枉法裁判的，处五年以下有期徒刑或者拘役；情节严重的，处五年以处五年以上十年以下有期徒刑；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑。在民事、行政审判活动中故意违背事实和法律作枉法裁判，情节严重的，处五年以下有期徒刑或者拘役；情节特别严重的，处五年以上十年以下有期徒刑。
司法工作人员贪赃枉法司法，有前两款行为的，同时又构成本法第三百八十五条规定之罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。
[说明]
一、本罪的犯罪主体只能是国家工作人员，这一点同于贪污罪和挪用公款罪。本罪在主
观方面体现为故意。在客观方面，则表现为利用职务上的便利，索取他人财物，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的行为。关于“利用职务上的便利”问题在修订后《刑法》公布后尚未作出新的司法解释前，可参考“两高”《关于执行（关于严惩贪污罪贿赂罪的补充规定）若干问题的解答》第三条第二项的规定。
二、应当注意，索取他人财物的，不论是否“为他人谋取利益”。均可构成受贿罪；非法收受他人财物，同时具 “为他人谋取利益为”的，才能构成受贿罪。为他人谋取的利益是否正当，是否实现，不影响受贿罪的成立。
三、1988年《补充规定》第四条第三款规定；国家工作人员、集体经济组织工作人员或者其他从事公务人员，在经济往来中，违反国家规定收受各种名义回扣、手续费，归个人所有的，以受贿论。这就人们通常所说的“经济受贿”、现《刑法》已将该内容收纳为第三百八十五条，但将其主体限定为“国家工作人员”。在司法实践中，对经济受贿行为追究刑事责任时刑事责任时，要注意正确界定回扣、手续费的概念。区别回扣与佣金、折扣、奖金的不同，在正确认定“违反国家规定违”的问题。在实行经济改革对外开放中，特别要注意区分受贿罪与非罪的界限，包括受贿行为与正常礼尚往来的界限，受贿行为与获得合理报酬行为的界限，受贿罪与经济上不正之风的界限，受贿罪与一般受贿行为的界限，尽量避免错案的发生。
四、关于“预约受贿”问题，最高法院关于离退休人员事先约定以后收受财物仍以受贿定罪的规定，已经明确，可依此执行。
《中华人民共和国刑法修正案
（七）》简称简称《刑法修正案七》第十三条规定了“利用影响力受贿罪”。如何在司法实践中准确理解和把握利用影响力受贿罪的犯罪构成要件以正确适用法律，有效惩治犯罪，是司法实务工作者必须要认真研究的问题，根据有关法律规定，结合相关法学理论，正确认定犯罪主体。
根据根据《刑法修正案
（七）》的规定，利用影响力受贿罪的犯罪主体应当包括以下三类人员；一是国家工作人员或者离职的国家工作人员的近亲属；二是离职的国家工作人员；三是其他与国家工作人员或者离职的国家工作人员关系密切的人。在司法实践中对上述三类人员应如何界定，我认为既要依据相关的法律规定，同时又要紧密结合我国的国情、社情和司法工作和司法工作的实际，来进行区分和界定。
比如：
一单纯的送礼可否构成受贿罪单纯的送礼可否构成受贿罪�6�1�6�1黄某系某县国税局党组成员黄某系某县国税局党组成员、、副局副局长长。蒋某系该局下属一税务所所长蒋某系该局下属一税务所所长因因蒋某不久前刚从外县调入蒋某不久前刚从外县调入为了搞好和为了搞好和黄某的关系黄某的关系在在20082008年春节送给黄某红年春节送给黄某红包一个包一个内有人民币内有人民币33万元万元。�6�1�6�1问题黄某的行为构成受贿罪问题黄某的行为构成受贿罪。�6�1�6�1构成利用特定关系影响受贿罪构成利用特定关系影响受贿罪�6�1二收受债权凭证能否构成受贿罪�6�1债权人能否实际占有财产或得到满足取决于债务人能否履行债务。因此严格地讲债权作为请求权能否转为财产权债权人是否可以实际获得财物处于一种不太确定的状态故而它是一种相对的权利。在现实生活中债权人的债权有可能是能够实现的实际财产如在约定的时间内由债务人履行债务义务债权人获得财物。也有可能是一种不能实现而空有虚名的财产权如债务主体消亡或债务人因多种原因失去能力而无法履行债务义务。对受贿的债权能否作为犯罪看待要视实际情况而定如果是前一种情况可将受贿债权认定为受贿既遂。因行为人可以通过债务人履行义务获得实际财物只不过是一个时间的迟早问题。如果是后一种情况表明行为人无法占有实际财产其债权的利益就根本无法实现可以认定为受贿未遂。�6�1�6�1三三利用影响力受贿罪利用影响力受贿罪�6�1�6�1““利用影响力受贿罪利用影响力受贿罪””一直是媒体和社会一直是媒体和社会热议的话题热议的话题。这项罪名被业内评价为这项罪名被业内评价为““在理在理论上对传统受贿罪的一次重大突破论上对传统受贿罪的一次重大突破在实践在实践中填补了目前反腐败制度和法律体系存在的中填补了目前反腐败制度和法律体系存在的一个空缺一个空缺””。在我国在我国利用影响力受贿的行利用影响力受贿的行为并不少见为并不少见如国家工作人员的家属利用基如国家工作人员的家属利用基于亲友关系产生的影响力受贿于亲友关系产生的影响力受贿离退休国家离退休国家工作人员利用基于原有职权或地位产生的影工作人员利用基于原有职权或地位产生的影响力受贿响力受贿其他非国家工作人员利用基于感其他非国家工作人员利用基于感情情、、血缘血缘、、地缘地缘、、事务关系产生的影响力受事务关系产生的影响力受贿贿。�6�1�6�1近日河南省检察机关立案侦查并提起公诉的李某涉嫌利用影响力受贿案成为全国首例司法机关办理的利用影响力受贿案件。“利用影响力受贿罪”这一新罪名同时进入公众视野。�6�1据报道2006年深圳某投资公司董事长张某从南阳市某银行得知该银行想处置所持有的一地产股权等资产包便找到时任其公司开发部经理、同时也是南阳市某银行行长贾某妹夫的李某让其利用亲戚关系从中联系收购。2006年10月李某与张某一起找到贾某挑明此事。后深圳某投资公司与南阳市某银行顺利签订了8565万元的资产包转让协议。在仅付了1065万元的情况下贾某即违规将该
资产包全部过户给深圳这家公司。随后深圳这家公司处置了该资产包部分股权获得了巨额利润。张某为感谢李某给其现金200万元和自己开发的部分房产。李某在购买时少付购房款1000万元并于2009年7月办理了过户手续。�6�1基于此为进一步加大反腐败力度2009年2月全国人大常务委员会对《刑法》进行第七次修改将利用影响力受贿行为作为受贿定罪处罚。规定“国家工作人员的近亲属或者其他与该国家工作人员关系密切的人通过该国家工作人员职务上的行为或者利用该国家工作人员职权或者地位形成的便利条件通过其他国家工作人员职务上的行为为请托人谋取不正当利益索取请托人财物或者收受请托人财物数额较大或者有其他较重情节的处三年以下有期徒刑或者拘役并处罚金数额巨大或者有其他严重情节的处三年以上七年以下有期徒刑并处罚金数额特别巨大或者有其他特别严重情节的处七年以上有期徒刑并处罚金或者没收财产。”“离职的国家工作人员或者其近亲属以及其他与其关系密切的人利用该离职的国家工作人员原职权或者地位形成的便利条件实施前款行为的依照前款的规定定罪处罚。”�6�1值得注意的是按民法通则的规定“近亲属”包括配偶、父母、子女、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女。“关系密切的人”是一个包括范围更广的概念“关系”是否“密切”主要是看双方平时的关系如何。因此上述人员有时虽不具有国家工作人员的身份也能构成受贿罪。�6�1�6�1三
篇5：高中数学导数专题讲义（答案版）
汇总
导数专题一、单调性问题
【知识结构】
【知识点】
一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；
二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；
第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；
第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；
2.导函数是否有极值点；
3.两根的大小关系；
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；
（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
（1）参变分离；
（2）导函数的根与区间端点直接比较；
（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；
（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；
（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。
【考点分类】
考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．
【答案】（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．
当时，函数为减函数；
当时，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．
依题意有，解得，所以．
（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．
依题意有，解得，所以．
综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．
（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．
因为切线过点，则．
即．
………………①
令，则
．
（1）当时，在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，所以函数的最大值为．
故方程无解，即不存在满足①式．
因此当时，切线的条数为．
（2）当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为．
取，则．
故在上存在唯一零点．
取，则．
设，则．
当时，恒成立．
所以在单调递增，恒成立．所以．
故在上存在唯一零点．
因此当时，过点P存在两条切线．
（3）当时，显然不存在过点P的切线．
综上所述，当时，过点P存在两条切线；
当时，不存在过点P的切线．
【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
(Ⅲ)
求证：直线不是曲线的切线.【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，当变化时，的变化情况如下表：
递减
极小值
递增
函数在上的极小值为，所以的最小值为
（Ⅱ）解：函数的定义域为，由（Ⅰ）得，所以
所以的单调增区间是，无单调减区间.（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线.设切点为，则，即
又，则.所以,得，与
矛盾
所以假设不成立，直线不是曲线的切线
【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且.(Ⅰ)
求的值及的单调区间；
(Ⅱ)
若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：.【答案】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得.故，.令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
↗
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）解：方程，即为，设函数.求导，得．
由，解得，或.所以当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘
↗
所以函数在单调递减，在上单调递增.由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，所以.同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即
.【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）
…………1分
由已知，解得.…………3分
（II）函数的定义域为.（1）当时,，的单调递增区间为；……5分
（2）当时.当变化时，的变化情况如下：
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.…………8分
（II）由得，…………9分
由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分
令，在上，所以在为减函数.,所以.…………14分
【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－
＋
↘
极小值
↗
则.所以函数不存在零点.（Ⅲ）
.当，即时，－
＋
↘
极小值
↗
当，即时，的单调增区间是，；
当，即时，＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
当，即时，＋
＋
↗
↗
＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是;
当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．
∵，∴
解得．
∴．
（Ⅱ），令，得或；
令，得．
∴的单调递增区间为，；单调递减区间为．
…8分
（Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴．
由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴．
∵，∴．
①
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．
∵，且，∴或，∴或，即或．
又∵，∴．
②
当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为
．
∵，且，∴，∴，即．
综上所述：或．
【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)
函数的定义域为,.（1）
当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为
令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）
当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为；
令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）
当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（4）
当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件；
若，则由得，或；
由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以；
若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件；
综上，.【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）,定义域为，令
极小值
所以的增区间为，减区间为。
（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根
设，即无零点。
当时，显然无零点，符合题意；
当时，令
极小值，显然不符合题意；
当时，令
极大值，所以时，符合题意
综上所述：
【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为
（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分
（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，，．
方程为．
（Ⅱ），．
当时，对于，恒成立，所以
Þ；
Þ
0.所以
单调增区间为，单调减区间为
．
（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．
令
Þ
Þ
.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以
当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
0
0
递减
极小值
递增
所以
当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．
综上，的取值范围为．
【练1-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当
时，所以，函数在点处的切线方程为
即：
(Ⅱ)函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增
当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有
在上恒成立。
所以，令，则.令则
若，即时，函数在上单调递增，又
所以，在上恒成立；
若，即时，当时，单调递增；
当时，单调递减
所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为
又因为，所以恒成立
综上知，的取值范围是.考点二、已知函数单调求参数范围；
【例2-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；
（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)
（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或
当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:
+
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
要使有三个零点,故需,即,解得
所以的取值范围是.【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：
0
+
极小值
所以时,函数的最小值为.所以成立.【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为，所以曲线经过点，又，所以，所以.当变化时，的变化情况如下表
0
0
极大值
极小值
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
.（Ⅱ）
因为函数在区间上单调递增，所以对成立，只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为，当时，在上的最小值为，解，得或，所以此种情形不成立
当时，在上的最小值为，解得，所以，综上，实数的取值范围是.【练2-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数
（1）求曲线：在处的切线的方程；
（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。
【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为
（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立
1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值
令，有
所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。
2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值
由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为
（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点
即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0
因此恒大于0，所以舍去
2、当时，解得，1
0
+
0
减
极小值
增
极大值
减
易知，而当时，所以在只存在一个零点。
3、当时，解得，1
0
+
减
极小值
增
当时，所以若只有一个零点，必须有
即，综上所述，的取值范围为和
【练2-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．
（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范
围；
（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；
（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．
【答案】函数定义域，．
（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则
（Ⅱ）当时，,．
（ⅰ）令，得．
令,得，所以函数在单调递增．
令,得，所以函数在单调递减．
所以，．
所以成立．
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以．
设所以．
令，得．
令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；
所以，即．
所以，即．
所以，方程没有实数解．
【练2-4】（2015-2016海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为．
（Ⅰ）若直线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
因为直线的斜率为
所以
所以
所以
令解得
所以当和时，当时，所以的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅱ）要使在上单调
只需或在恒成立
（1）在恒成立等价于，即
解得
（2）在恒成立，当时，即，解得（舍）或（舍）
当时，即，解得
综上所述
考点三、已知函数不单调求参数范围；
【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围.【答案】解法一：∵
令，解得，因为在区间上不单调，所以区间上存在极值点，所以，或
即，或
所以或
∴.解法二:∵
因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.令，解得，区间长为，∴在区间上不可能有个零点.所以
即：
∵，∴，又∵，∴.【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围
【答案】
考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；
【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围.【答案】解法一：
设，依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可
由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以.设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；
由解得.所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，所以，所以实数的取值范围是.【例4-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
【答案】
【练4-1】已知函数，．函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．
【答案
当时，令，解得
则在上单调递增区间，满足题意.当时
当，即时，在上单调递减(舍）
当，即，且时
令，解得：，当时，则在上单调递增区间，满足题意
当时，要使在上存在单调递增区间，则，即，解得
所以
综上所述得：的取值范围为：
解法二：
在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立
设
当时，则
所以，的取值范围为：
考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；
【例5-1】（2012-2013西城一模文18）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）的定义域为，且
．
………………2分
①
当时，故在上单调递增．
从而没有极大值，也没有极小值．
………4分
②
当时，令，得．
和的情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值．
…………6分
（Ⅱ）解：的定义域为，且
．
…………8分
③
当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
………………9分
④
当时，在上单调递减．
当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．
……………11分
当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是．
…………13分
【例5-2】已知函数，其中．若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
【答案】的定义域为，当，在单调递减，当时，在单调递减，单调递增,的定义域为，且
．
当时，显然，从而在上单调递增．
此时在上单调递增，符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
当时，令，得．
和的情况如下表：
↘
↗
当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．
当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是．
导数专题二、极值问题
【知识点】
一、函数的极值定义
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。
极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。
极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：
1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。
2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。
3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。
4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。
三、求函数极值的三个基本步骤
第一步、求导数；
第二步、求方程的所有实数根；
第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．
【考点分类】
考点一、分类讨论求函数极值（点）；
【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】
（Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。
（Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。
（Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。
【例1-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.【答案】
考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；
【例2-1】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为
（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分
（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，，．
方程为．
（Ⅱ），．
当时，对于，恒成立，所以
Þ；
Þ
0.所以
单调增区间为，单调减区间为
．
（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．
令
Þ
Þ
.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以
当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
0
0
递减
极小值
递增
所以
当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．
综上，的取值范围为．
【练2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）当时，定义域为
令，得
0
递增
递减
极小值
递增
（Ⅱ），因为
所以令，只需
设，若在区间上有两个极值点，则在区间上有两个零点
要使在区间上有两个零点，的唯一根必须在区间
所以令，得，且
解得：
【练2-2】已知函数，（为常数）.若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】
由题意可知，解得
所以，实数的取值范围为.【练2-3】已知函数，其中且.若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-4】已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.，又
在处的切线方程为.令，整理得.或，与切线有两个不同的公共点.--7分
（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-5】（2013-2014海淀二模文18）已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.---------------------------------1分，---------------------------------2分
又
在处的切线方程为.---------------------------------4分
令，整理得.或，-----------------------------------5分，----------------------------------------6分
与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分
（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，---------------------------9分
由二次函数图象性质可得，-------------------------------------10分
即，解得或，----------------------------12分
综上，的取值范围是.-------------------------------13分
【练2-6】（2009-2010年北京高考文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。
【答案】由
得
因为的两个根分别为1,4，所以
（*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解
得
即的取值范围
考点三、已知函数极值求参数值；
【例3-1】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）的定义域为.，即
.令，解得：或.当时，故的单调递增区间是.当时，随的变化情况如下：
极大值
极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，随的变化情况如下：
极大值
极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的极大值等于.理由如下：当时，无极大值.当时，的极大值为，令，即
解得
或（舍）.当时，的极大值为.因为，所以
.因为，所以的极大值不可能等于.综上所述，当时，的极大值等于.【例3-2】已知函数在处有极值10，求的值.【答案】
依题意得方程组
解得.当a=-3,b=3时，令得x=1.(-∞,1)
(1,+∞)
+
0
+
↗
无极值
↗
显然不合题意，舍去.当时，令得或.x
（1，+∞）
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
在处有极小值10，合题意，∴.导数专题三、最值问题
【知识结构】
【知识点】
一、求解函数最值问题的步骤：
对于函数的最值问题主要建立在前面的极值问题的基础上；一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
第一步、求函数在内的极值；
第二步、将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、主要的问题类型：
1.分类讨论求函数最值；
2.已知函数最值情况求参数范围；
3.已知函数最值求参数值；
4.其他的情况转化为最值问题；
【考点分类】
考点一、分类讨论求函数最值；
【例1-1】（2015-2016东城一模文19）
已知函数，（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求在区间上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立.【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得
（2）
1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为
2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为
3）当时，-
0
+
减
极小值
增
所以在该区间的最小值为
综上所述，当时，在的最小值为1；
当时，在的最小值为.（3）由已知得，所以在时，恒有
若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立.令
令，有
当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立.【例1-2】（2014-2015丰台一模理18）设函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；
（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．
【答案】（Ⅰ）当时，，所以．
因为，即切线的斜率为，所以切线方程为，即
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．
令，则．
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当时，函数最小值是．命题得证.（Ⅲ）因为，所以．
令，则．
当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．
所以当，在上单调递减；
当，在上单调递增．
所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以．
由（Ⅱ）知在恒成立，所以在上单调递增．
又因为，所以在恒成立，即．
所以当时，在上的最大值为．
【练1-1】（2015-2016西城期末文19）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以．
令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的单调减区间为；单调增区间为．
所以当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为.所以函数在上的最小值为
【练1-2】（2015-2016海淀期末文18）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）
求的值
（Ⅱ）求在区间上的最小值.【答案】（I）因为所以在函数的图象上
又，所以
所以
（Ⅱ）因为，其定义域为
当时，所以在上单调递增
所以在上最小值为
当时，令，得到(舍)
当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为
当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为
当,即时,对成立,对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为
综上，当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时,在上的最小值为.【练1-3】（2015-2015丰台一模理18）已知函数，.(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，1
则，3
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或6
(Ⅱ)记(x)=，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),ab=，所以，(x≠-a)，令，得，或,因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，,，①
当，即时,(x)在[-2,-1]单调递增,(x)在该区间的最小值为，②
当时,即,(x)在[-2,单调递减,在单调递增，(x)在该区间的最小值为，③当时,即时,(x)在[-2,-1]单调递减,(x)在该区间的最小值为，综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.（不综述者不扣）
【练1-4】（2013-2014延庆一模理18）已知函数.(Ⅰ)
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值.【答案】函数的定义域为，1
(Ⅰ)，4
（1）当时，所以在定义域为上单调递增；
（2）当时，令，得（舍去），当变化时，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增；
（3）当时，令，得，（舍去），当变化时，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（1）当，即时，在区间单调递减，所以，；
（2）当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，（3）当，即时，在区间单调递增，所以.【练1-5】（2013-2014东城期末理18）已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
【答案】（Ⅰ）当时，，所以，.2
因此．
即曲线在点处的切线斜率为.4
又，所以曲线在点处的切线方程为，即．6
（Ⅱ）因为，所以．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．
③若，则当时，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
【练1-6】（2014-2015西城二模理18）已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】的定义域为，且
．
当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即
．
（Ⅱ）解：方程的判别式为．
（ⅰ）当时，所以在区间上单调递增，所以在区间
上的最小值是；最大值是．6
（ⅱ）当时，令，得，或．
和的情况如下：
↗
↘
↗
故的单调增区间为，；单调减区间为．
①
当时，此时在区间上单调递增，所以在区间
上的最小值是；最大值是．
②
当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是
．
因为，所以
当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．
③
当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．
综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是．
【练1-7】（2014-2015丰台一模文19）已知函数,.(1)设函数,且求a,b的值;
(2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,m]
()上的最大值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},则,因为所以解得,或
(Ⅱ)记(x)=,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),因为a=2,b=4,所以(x≠-2)，令,得,或,当,或时，当时，函数的单调递增区间为,单调递减区间为,①当-2 【练1-8】（（2013-2014大兴一模文18）已知函数.(I)求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,求函数在区间上的最小值.【答案】定义域为R (Ⅰ)①当时，则的单调增区间为 ②当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为 ③当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为 (Ⅱ) ①当时,即 当时,在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为 ②当时,即 当时,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为 综上: 当时,在区间[-2,0]上最小值为 当时,在区间[-2,0]上最小值为 考点二、已知函数最值情况求参数范围； 【例2-1】（（2015-2016昌平期末文20）已知函数． (Ⅰ) 求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016东城一模文20）已知函数 .(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)讨论的单调性; (III)若存在最大值,且,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,..所以.又,所以曲线在点处的切线方程是,即.(Ⅱ)函数的定义域为,.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递减.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递增.当时,由,得,由,得,此时在区间内单调递增,在区间内单调递减.(III)由(Ⅱ)知函数的定义域为,当或时,在区间上单调,此时函数无最大值.当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减,所以当时函数有最大值.最大值.因为,所以有,解之得.所以的取值范围是.【练2-1】（15-2016大兴区一模理18）已知函数，． (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（I），.由，得，或.①当，即时，在上，单调递减； ②当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减.综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为.（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值； （2）当时，若，即时，在上单调递减，不存在最小值； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，所以时，.又因为，所以当，即时，有最小值；，即时，没有最小值.综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值.考点三、已知函数最值求参数值； 【例3-1】（2015-2016朝阳期中文20）已知函数(其中，),函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)若函数在区间上的最小值为，求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以． 所以． (Ⅰ)当时，时，所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得，所以． （1）当，即时，令得，或； 令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． （2）当时，即时，恒成立，所以函数在上单调递增． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然不符合题意． （3）当时，即时，令得，或； 令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递减． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． ②若，即时，函数在在上单调递减，在上单调递增． 此时，函数在区间上的最小值为． 解得．显然不合题意． 综上所述，或为所求． 【例3-2】（2015-2016朝阳期中18）已知函数(其中是常数，)，函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)当时，若函数在区间上的最大值为，试求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以，即． (Ⅰ)当时，．又，所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得． 所以． 因为，． 因为，所以． 令得，； 令得，或． 所以函数在上单调递增，在和上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最大值为． 解得．显然符合题意．此时，． ②若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上的最大值为． 又因为，所以，． 所以． 所以． 不满足函数在区间上的最大值为 综上所述，为所求． 【练3-1】（2015-2016海淀一模理18）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.【答案】（I）因为所以2 因为函数在处取得极值 当时，，随的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为,单调递减区间为 (II)因为 令,因为在处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得，与矛盾 当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或.【练3-2】（2013-2014朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值． 【答案】函数的定义域是，． （Ⅰ）（1）当时，故函数在上单调递减． （2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减． （3）当时，令，又因为，解得． ①当时，所以函数在单调递减． ②当时，所以函数在单调递增． 综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． （Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去． （2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得． ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去． ③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去． 综上所述，． 导数专题四、零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、零点的定义：定义： 一般地，如果函数在处有实数根，即，则叫做这个函数的零点.1.函数值为零时的值； 2.函数为零时，方程的解； 3.函数的图象与轴交点； 4.两个函数的交点； 二、零点问题主要包括的题型包括： 1.是否有零点； 2.判断零点个数； 3.已知零点求参数 三、函数零点的判定： 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点 【考点分类】 考点一、分类讨论求零点个数； 【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ） 当时，讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点； （ⅱ）当时，即时，有一个零点； （ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(3) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则． 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点； 又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法： 综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.【练1-1】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－ ＋ ↘ 极小值 ↗ ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则.所以函数不存在零点.（Ⅲ） .当，即时，－ ＋ ↘ 极小值 ↗ 当，即时，＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当，即时，＋ ＋ ↗ ↗ 当，即时，综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-2】（2015-2016西城期末文20）已知函数，直线 ： .（1）求函数的极值； （2）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线； （3）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由。 【答案】（1）（x≠0） ∴ 令，得x=1，列表，得： x （0，1） （1，+∞） 0 + 极值 ∴在x=1处，有极小值为。 （2）假设是一条切线，设切点为。 ∴ 有 将②代入①中，得 即 不成立 ∴ 对于任意，直线都不是曲线的切线。 （3）解法一、令 整理得 令 ∴，∴ g（x）是一个减函数。 令g（x）=0得x=-1，∴ 有当x＜0时，g（x）＜2，且x，g（x）-∞； 当x＞0时，g（x）＞2，且x，g（x）+∞； ∴ 当k=2时，没有交点；当k≠2时，有一个交点。 解法二、令，有，当时，恒正，即无零点。 当时，即在时恒正，无零点。 当时，为减函数，取，有； 当时，而，此时，所以有一个零点，即曲线与直线有一个交点。 当时，当时，恒正，无零点； 当时，为增函数，取，有； 当时，而，此时； 因此，在有一个零点，即曲线与直线有一个交点。 综上所述，当 时，曲线与直线没有交点；当 时，曲线与直线有一个交点。 【练1-3】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ） 曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得： 当在上变化时，的变化情况如下表： + 0 ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。 (Ⅲ)令得： 由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点； 当或时，函数在上有1个零点； 当时，函数在上有2个零点 【练1-4】（2013-2014西城期末理18）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以． ……………… 2分 令，得． ……………… 3分 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ ……………… 5分 故的单调减区间为；单调增区间为．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点.……………… 7分 理由如下： 由，得方程，显然为此方程的一个实数解.所以是函数的一个零点.……………… 9分 当时，方程可化简为.设函数，则，令，得． 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ 即的单调增区间为；单调减区间为． 所以的最小值.………………11分 因为，所以，所以对于任意，因此方程无实数解． 所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点.………………13分 【练1-5】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】（Ⅰ） …………………1分，所以切线的方程为，即． …………………3分 （Ⅱ）令则 ↗ 最大值 ↘ …………………6分，所以且，，即函数的图像在直线的下方． …………………8分 （Ⅲ）令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.…………………13分 【练1-6】（2014-2015东城高一模理18）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值； （Ⅱ）若在区间上单调递增,求的取值范围； （Ⅲ）讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅰ）因为，由已知在处取得极值，所以.解得，经检验时，在处取得极小值.所以.……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.所以.……8分 （Ⅱ）因为，所以，.令得，令，..当时，在上单调递增，时，在上单调递减.所以.综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.考点二、已知函数存在零点情况求参数范围； 【例2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【答案】（Ⅰ） 令 得 变化情况 + 减 增 所以 函数在区间为减函数，在区间为增函数 （Ⅱ）解法一（分离参数法）： 主要的步骤如下： 1写定义域：求出函数的定义域 2分离参数：将等式转化为参数放在等号一边，等号另外一边为一个函数g（x） 3画图象：准确画出g（x）的图象 4移直线：将直线y=b的直线由上往下移动观察交点个数 下面是每一步的注意事项： 1写定义域：一定要先写出函数的定义域 2分离参数：分离参数的时候也要注意对等式变化的时候定义域的改变 3：画图像：这里涉及到画出准确函数图像的注意事项 A：首先通过求导研究函数的单调性（在定义域范围内） B：画出各极值点 C：画断点（定义域内取不到的值的走势）-----找渐近线1 D:画正负无穷处的点----------找渐近线2 E：将各处用光滑的曲线连接起来 4：移直线：移动的时候看交点要注意所取点空心和实心。 解法一（分离参数法）：直线与曲线没有公共点，等价于 方程无实数解，不是该方程的解，所以等价 方程无解 设 则 令 得 在区间上，在区间上，在区间上 所以 在上递增，在上递减，在上递减 所以，当时，取得极大值 当无限增大时，无限趋近于1 所以的值域为 方程无解，则的取值范围为 解法二：构造新函数法（略） 解法三（转化为过某一定点直线和曲线的交点）： 因为直线与曲线没有公共点，所以方程，即无实数解 所以直线与曲线没有公共点，设过点的直线与曲线相切于点 因为，所以直线的斜率 所以直线的方程为 因为直线过点，所以，所以 因为直线与曲线无交点 所以，即 【例2-2】（2015-2016海淀期末文19）已知函数，其中.当时，求函数的单调区间和极值； 若关于的方程有解，求实数k的取值范围.【答案】由题可知函数定义域为： 当时，令得。 当变化时，和的变化如下表： X — 0 + 极小值 ∴的单调递增区间为：的单调递减区间为： ∴在时存在极小值： 由题意得，方程有解即为有解，令，令得 （1）当时，令得 令得 在上单调递减，在上单调递增 ∴ ①当时，,函数有一个解。 ②当时，且 （2）当时，恒成立，在上恒减 且当时，综上所述：。 【练2-1】（2015-2016丰台期末理18）已知函数.（Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ），令得，.x 0 + 0 _ 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴函数的极大值为； 极小值为.(Ⅱ) 若存在，使得，则 由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）.（图1） （图2） 于是可得.【练2-2】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【练2-3】（2015-2016丰台二模文19）设函数． （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），（1）若，则在区间上，单调递增.所以当时，的单调递增区间为，没有极值点.（2）若，令，即，解得，因为函数在区间是递增函数，所以在区间内，单调递减；在区间内,单调递增.所以当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为所以当时，函数有极小值为.（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递增，因为，令，得.所以当时，在区间上上存在唯一零点.（2）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点 因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则只能是： ①，或②.由①得；由②得.综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，则或.【练2-4】（2015-2016海淀二模文19）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间; （2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若存在，使得既是函数的零点，又是函数的极值点，请写出此时的值.（只需写出结论）.【答案】（1）当时，令，从而和时，时 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。 （Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，令，得到.当时，即时，在区间上单调递增，为上最小值 所以有，即，解得或，所以有； 当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以为上最小值，所以有，即，解得，所以.综上，得.法二：（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，所以当，即时 满足题意，当时，因为，令，得到，因为，所以在区间上的单调递增，所以在区间上的最小值为，所以，根据上面得到，矛盾.综上，.（Ⅲ） 【练2-5】（2015-2016丰台二模理18）设函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间内的最大值； （Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）当时，与、之间的关系如下表： + 0 增函数 极大值 减函数 函数在区间内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点，---4分 最大值.（Ⅱ） （1）当时，显然在区间内没有两个零点，不合题意.(2)当时，.①当且时，函数区间上是增函数，所以函 数 区间上不可能有两个零点，所以不合题意； ②当时，在区间上与、之间的关系如下表： + 0 增函数 极大值 减函数 因为，若函数区间上有两个零点，则，所以，化简.因为，,所以.综上所述，当时，函数在区间内有两个零点.【练2-6】（2015-2016房山一模理18）已知函数，其中 （Ⅰ）当，求函数的极大值； （Ⅱ）若在区间上仅有一个零点，求实数的取值范围是。 【答案】（Ⅰ）a=-2时，f（1）= a – = -（-2）-1为极大值1。 （Ⅱ） 当 时，f（x）在所以f（1）=0 即-a-1=0，a=-1。或者 但无解舍 当 由f(1)=-a-1<0知 只需f（e）>0 解得 所以，f（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，且 f（1）此时（0，e）上不可能有零点 综上a=-1或者 【练2-7】（2015西城二模文）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立； （Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）解：当时，函数，求导，得，………………2分 因为，………………3分 所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分 （Ⅱ）证明：当时，的定义域为.求导，得，………………5分 令，解得，………………6分 当变化时，与的变化情况如下表： + 0 0 + ↗ ↘ ↗ ………………8分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，当时，；当时，所以当时，；当时，.记，其中为两数，中最大的数，综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式 恒成立.………………10分 （Ⅲ）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅 有负实数解.………………13分 考点三、已知函数不存在零点求参数范围； 【例3-1】（2015-2016石景山一模文19）已知函数． （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ），令解得，易知在上单调递减，在上单调递增，故当时，有极小值 （Ⅱ）令，则，由（Ⅰ）知，所以在上单调递增，所以，所以.（Ⅲ）方程，整理得，当时，.令，则，令，解得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以时，有最小值，而当越来越靠近时，的值越来越大，又当，方程无解，所以.【例3-2】（2013-2014海淀期末理18）已知关于的函数 （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.【答案】（Ⅰ），.------------------------------------------2分 当时，,的情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，当时，函数的极小值为.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）.①当时，的情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ --------------------------------7分 因为,------------------------------8分 若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分 所以此时； -----------------------------------------------10分 ②当时，的情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ --------11分 因为,且,---------------------------12分 所以此时函数总存在零点.--------------------------------------------13分 综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-1】（2013-2014朝阳一模文18）设函数，，记.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】(I)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即 ………………4分 （Ⅱ），（）.①当时，在区间上单调递增； ②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是； 当时，函数的增区间是，减区间是.………………9分 （Ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解.由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为.…………………………………………………13分 综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-2】（2014-2015通州期末理18）已知函数，（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若方程没有实数根，求取值范围． 【答案】（Ⅰ）因为函数，所以………………… 1分 （1）当时，所以的递增区间是，无递减区间.…… 3分 （2）当时，令，得，令，得 所以的递增区间是，递减区间是 …………………… 5分 综上，当时，的递增区间是，无递减区间，当时，的递增区间是，递减区间是 （Ⅱ）（1）当时，在上显然无零点，所以方程没有实数根.…………………… 6分 （2）当时，在上单调递增，因为，所以 所以在上有零点.所以方程有实数根.…………………… 8分 （3）当时，的递增区间是，递减区间是，所以是的极小值，也是的最小值.所以没有实数根等价于 …………………… 11分 所以所以 所以所以.…………………… 12分 综上，的取值范围是 …………………… 13分 考点四、证明函数零点情况； 【例4-1】（2015-2016海淀期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 【答案】（Ⅰ）因为,所以，当时，.令，得，所以随的变化情况如下表： 极大值 极小值 所以在处取得极大值，在处取得极小值.函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为 （Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得.因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解； 当时，随的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间上的最大值为或.此时,，所以 .综上，当时，关于的不等式在区间上无解.【例4-2】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程； （II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I） 其中，所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为，令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时，令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 【练4-1】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程； （II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I） 其中，所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为，令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时，令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 考点五、函数交点问题； 【例5-1】（2015-2016东城期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （Ⅲ）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可） 【答案】（Ⅰ）当时，.当时，又，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得.当时，此时在上单调递增.当时，当时，所以当时，曲线与轴有且只有一个交点； 当时，令，得.与在区间上的情况如下： 极大值 若曲线与轴有且只有一个交点，则有，即.解得.综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点.（Ⅲ）曲线与曲线最多有4个交点.【例5-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【练5-1】（2015-2016西城期末理18）已知函数 (,为自然对数的底数).（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值； （Ⅱ）求函数的极值； （Ⅲ）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值． 【答案】(Ⅰ)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时，为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表: 递减 递增 当时，同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.【练5-2】（2014-2015丰台期末理18）已知函数． （Ⅰ）求函数的极小值； （Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为，所以 ． 令，则． 0 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以 当时函数有极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数． 当时，所以要使与无交点，等价于恒成立． 令，即，所以 ． ①当时，满足与无交点； ②当时，而，所以，此时不满足与无交点． ③当时，令，则，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． 由 得，即与无交点． 综上所述 当时，与无交点． 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 【知识结构】 【知识点】 求解函数的恒成立问题和存在性问题首先转化为函数的最值问题，主要的方法提炼： 一、已知不等式恒成立，求参数取值范围：分参法； （1）分离参数，使不等式转化为（）恒成立； （2）求导函数； （3）找出的最大（小）值（）； （4）解不等式（），得出参数取值范围． 二、已知不等式恒成立，求参数取值范围：讨论法； （1）构造新函数，使不等式转化为（）恒成立； （2）求导函数，判断函数的单调性； （3）找出的最小（大）值（）； （4）解不等式（），得出参数取值范围． 【考点分类】 考点一、单变量单函数的不等式型；，即求，即求 【例1-1】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，． （Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表： 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为.所以成立.【例1-2】（2015-2016海淀二模理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）． 【答案】（Ⅰ）时且，令则或；令则，递增区间为和；递减区间为。 （Ⅱ）在有解，在有解，令，则在有解，即，且，① 当即时 在上递增，在上递减，在上递增，Ⅰ．若，则，则，则在上递减，在上递增，则恒成立，满足条件。 Ⅱ．若，则，则，则在上递增，则，，又，② 当即时，在上递增，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，③ 当即时，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，综上所述：． （Ⅲ）。 【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． （Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立． 设，得，当时，所以 在上单调递减，所以 时，． 因为恒成立，所以． （Ⅲ）当时，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时，恒成立． 所以时，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2015-2016东城二模文20）设函数 （1）若，求在区间上的最大值； （2）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切； （3）若对任意的，均有成立，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，+ 0 单调增 极大值 单调减 所以在取得最大值，（2）设切点坐标为，有，以及 联立化简得到，易知为单调递增函数 因此，与直线有且只有一个交点，因此切点只有一个，因此，当时，过点有且只有一条直线与曲线相切。 （3）易知当时，满足条件 当时，1）当时，满足条件 2）当时，有，整理得到 因此有，因为，所以，所以 3）当时，有 令，有 设，有，当时，因此当时，所以当时，单调递增，最小值为，因此 综上所述，的取值范围为 【练1-3】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时，令，得，所以的单调增区间是； 令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间是，的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为，所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解： （1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时，可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且． 当时，要使成立，只需，解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-4】（2010-2011海淀一模文18）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间； （Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（I）因为，…………………2分 当，令，得，…………………3分 又的定义域为，随的变化情况如下表： 0 极小值 所以时，的极小值为1 .…………………5分的单调递增区间为，单调递减区间为； …………………6分 （II）解法一： 因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.…………………7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即 …………………9分 （2）当，即时，① 若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若，即时，则有 极小值 所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即.…………………13分 综上，由(1)（2）可知：符合题意.…………………14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立，即，因为,所以，只需 …………………7分 令，只要在区间上的最小值小于0即可 因为，令，得 …………………9分 （1）当时： 极大值 因为时，而，只要，得，即 …………………11分 （2）当时： 极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由，得，即.…………………13分 综上，由(1)（2）可知，有 .…………………14分 【练1-5】（2013-2014房山一模文18） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵f（x）=ex（x+1），∴f′（x）=ex（x+1）+ex=ex（x+2），∴f′（0）=e0•（0+2）=2，又f（0）=1，∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为： y-1=2（x-0），即2x-y+1=0； （Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表： x （-∞，-2） （-2，0） f′（x） 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增，∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e-2． ∴-e-2＞k，即k＜-e-2． ∴k的取值范围是（-∞，-e-2）． 【练1-6】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) 函数的定义域为,.（5） 当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为 令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（6） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为； 令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（7） 当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（8） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，； 令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件； 若，则由得，或； 由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以； 若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件； 综上，.考点二、单变量双函数的不等式型；，构造新函数，即求；，构造新函数，即求； 【例2-1】（2015-2016昌平期末文20）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016丰台一模理18）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）设切线的斜率为 因为，切点为.切线方程为，化简得：.（Ⅱ）要证： 只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时 在恒成立 所以.（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立 因为== ①当时，不满足题意 ②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减； 时，在上单调递增； 当时 当时，满足题意 所以，得到的最小值为 【练2-1】（2015-2016石景山一模理18）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值． 【答案】 （Ⅰ），． 所以切线方程为． （Ⅱ）令，则，当时，设，则 所以在单调递减，即，所以………6分 所以在上单调递减，所以，所以． （Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，………9分 令，则． 易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以． 综上所述，的最大值为 ． 【练2-2】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ） 曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得： 当在上变化时，的变化情况如下表： + 0 ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。 (Ⅲ)令得： 由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点； 当或时，函数在上有1个零点； 当时，函数在上有2个零点 【练2-3】（2015-2016东城二模理18）已知 （I）求的单调区间 （II）当时，求证：对于恒成立； （III）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围。 【答案】（I）的定义域是，令，得：，（舍） + 0 单调增 极大值 单调减 （II）设，由题意只需证明：即可。，可得，在上，且在单调递减，所以对于恒成立，得证。 （III）由（II）得： 当时，所以，又因为当时，所以，则此时没有满足条件的当时，令 则，令，因为，又因为，所以，存在满足题意。 综上，的取值范围是。 【练2-4】（2015-2016朝阳二模理18）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时,，． ． 则，而． 所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即． （Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立． 设，． 所以． （1）当，即时，当时，为单调减函数，所以． 依题意应有 解得所以． （2）若，即时，当，为单调增函数，当，为单调减函数． 由于，所以不合题意． （3）当，即时，注意到，显然不合题意． 综上所述，． 【练2-5】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分 解得，-----------------------------------5分 （Ⅱ）法1： 对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分 令，----------------------------------------7分 ①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分 ②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，-------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是； 综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分 由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练2-7】（2015-2016西城一模文19）已知函数，且 (Ⅰ)求的解析式 (Ⅱ)若对于任意，都有，求m的最小值 (Ⅲ)证明：函数的图像在直线的下方.【答案】对求导，得，所以，解得，所以.（Ⅱ）解：由，得，因为，所以对于任意，都有.设，则 .令，解得.当x变化时，与的变化情况如下表： 极大值 所以当时，.因为对于任意，都有成立，所以 .所以的最小值为.（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证.由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.所以只要证明当时，即可.设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数.所以，即.所以.故函数的图象在直线的下方.【练2-8】（2015-2016东城一模文19） 已知函数，（1）若在处取得极值，求的值； （2）求在区间上的最小值； （3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立。 【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得 （2） 1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为 2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为 3）当时，- 0 + 减 极小值 增 所以在该区间的最小值为 综上所述，当时，在的最小值为1； 当时，在的最小值为。 （3）由已知得，所以在时，恒有 若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立。 令 令，有 当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立。 【练2-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当 时，所以，函数在点处的切线方程为 即： (Ⅱ)函数的定义域为： 当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有 在上恒成立。 所以，令，则.令则 若，即时，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立； 若，即时，当时，单调递增； 当时，单调递减 所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是.【练2-10】（2012-2013海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【答案】（I）当因为,…………………2分 若函数在点处的切线与函数在点 处的切线平行，所以，解得 此时在点处的切线为 在点 处的切线为 所以 …………………4分 （II）若，都有 记，只要在上的最小值大于等于0 …………………6分 则随的变化情况如下表： 0 极大值 …………………8分 当时，函数在上单调递减，为最小值 所以，得 所以 …………………10分 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为最小值，所以，得 所以 ………………12分 综上，………………13分 【练2-11】（2015-2016昌平期末理18）已知函数.（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标； （Ⅱ）求证：当时，；（其中） （Ⅲ）确定非负实数的取值范围，使得成立.【答案】定义域为，.由题意，所以，即切点的坐标为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以原问题转化为当时，恒成立.所以.令，则（舍），.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为，所以.当时，成立.（Ⅲ）解：，可转化为 当时，恒成立.设，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，⑵当，即时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.⑶当，即时，则（舍），.所以，变化如下： 0 0 + ↘ 极小值 ↗ 因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为.考点三、双变量双函数的不等式型；； ； 。 【例3-1】（2015-2016西城二模文15）已知函数 （I）若，求a的值 （II）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】 (Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或 随着的变化，与的变化情况如下表： 0 不存在极小 不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【例3-2】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)求函数的零点和极值； (Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】 （Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。 （Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。 （Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。 考点四、双变量双函数的绝对值不等式型； （一）（1）对于任意的，，等价于且； （2）对于任意的，，等价于或者； （3）对于任意的，，等价于； （二）（1）若存在，存在，使得，等价于且； （2）若存在，存在，使得，等价于或者； （3）若存在，存在，使得，等价于； （三）（1）对于任意的，存在，使得，等价于且； （2）对于任意的，存在，使得，等价于或者； （3）对于任意的，若存在，等价于； 【例4-1】（2011-2012海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.（Ⅱ） 任意，使恒成立的实数的最小值为 【例4-1】（2016湖北理21）设是函数的一个极值点。 （Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）、设。若存在使得成立，求的取值范围。 【答案】（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4))，f (3)]，而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0 【例4-2】【2013届山西省第四次四校联考】已知函数 （I）若函数在上是减函数，求实数的最小值； （2）若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分 所以当时，．………………2分 又，………4分 故当，即时，． 所以于是，故a的最小值为． …………………………6分 （2）命题“若使成立”等价于 “当时，有”． 由（1），当时，． 问题等价于：“当时，有”． ………………………8分 当时，≤0,在上为减函数，则=，故． ………10分… 当0<时，>0,由于在上为增函数，故的值域为，即． 由的单调性和值域知，唯一，使，且满足： 当时，为减函数；当时，为增函数； 由=，． 所以，与矛盾，不合题意． 综上，得． …………………………12分 【例4-3】【2013～2014年衡水中学高三上学期二调】已知函数； （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数单调递增区间； （3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围.【例4-4】（2015-2016年昌平二模理18）已知函数，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线.设.（I）求的值，及的关系式； （II）求函数的单调区间； （III）设，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（I）因为函数，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即 （II）由已知，.所以.设，所以，R，所以在上为单调递增函数.由（I）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点0． 所以及符号变化如下，- + ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（III）由（II）知当 时，是增函数.对于任意，都有等价于，等价于当时，因为，所以在上是增函数，又，所以.【练4-1】（2013房山二模理）已知函数().(Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,取得极值.（1）若,求函数在上的最小值; （2）求证:对任意,都有.【答案】（Ⅰ） …………1分 当时，解得或,解得 ……………2分 所以单调增区间为和，单调减区间为………3分 （Ⅱ）①当时，取得极值，所以 解得（经检验符合题意） ……………4分 + 0 0 + ↗ ↘ ↗ 所以函数在，递增，在递减.……5分 当时，在单调递减，………………6分 当时 在单调递减，在单调递增，.………………7分 当时，在单调递增，……………………8分 综上，在上的最小值 ……………………9分 ②令 得（舍） 因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-2】（2012-2013房山二模文18）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）求证：对任意，都有.【答案】（Ⅰ） ……………1分 由已知得即 ……………2分 解得： …………………………3分 当时，在处函数取得极小值，所以 （Ⅱ），.- 0 + 减 增 所以函数在递减，在递增.……………………4分 当时，在单调递增，.………………………5分 当时，在单调递减，在单调递增，.…………………………6分 当时，在单调递减，…………………………7分 综上 在上的最小值 ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，.令 得 因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-3】（2013-2014年东城零模文18）设函数 （Ⅰ）设，证明：在区间内存在唯一的零点； （Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当 ． 又当，． ．．．．．．6分 （Ⅱ）当时，． 对任意 上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下： （ⅰ），． （ⅱ），． （ⅲ），． 综上可知，． ．．．．．．14分 考点五、双变量双函数的等式型； （一）对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即； （二）存在，存在，使得，则的值域是值域有非空交集，即 【例5-1】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，． ∵，∴ 解得． ∴． （Ⅱ），令，得或； 令，得． ∴的单调递增区间为，；单调递减区间为． …8分 （Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴． 由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴． ∵，∴． ① 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或． ∵，且，∴或，∴或，即或． 又∵，∴． ② 当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为 ． ∵，且，∴，∴，即． 综上所述：或． 【例5-2】（2014-2015海淀二模文19）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对任意的，总存在，使得，求实数值.【答案】（Ⅰ） ………………2分 当时，对，所以的单调递减区间为； ………………4分 当时，令，得.因为 时，；时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.………………6分 （Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值.当且时，由（Ⅰ）知：在上，是减函数.所以 .因为 对任意的，，所以对任意的，不存在，使得.………………8分 当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数，在上，是减函数.所以 .因为 对，，所以 对，不存在，使得.………………10分 当时，令.由（Ⅰ）知：在上，是增函数，进而知是减函数.所以,，.因为 对任意的，总存在，使得，即，所以 即 所以，解得.………………13分 综上所述，实数的值为.【练5-1】（2008天津文10）10．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（B） A． B． C． D． 【练5-2】（2008天津理16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .a=2 考点六、其他的函数单调性问题、极值问题、最值问题、零点问题转化为恒成立问题和存在性问题； 【例6-1】（（2015-2016房山二模文19）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【答案】（Ⅰ）,定义域为，令 极小值 所以的增区间为，减区间为。 （II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。 当时，显然无零点，符合题意； 当时，令 极小值，显然不符合题意； 当时，令 极大值，所以时，符合题意 综上所述： 导数专题六、渐近线和间断点问题 【知识结构】 【知识点】 对于函数的渐近线问题和间断点问题是函数问题中的特殊类型，渐近线问题主要是涉及到函数在无穷处的极限值会等于定值，这样的函数类型主要类型有如下的形式； 几种特殊函数的渐近线: 1.时； （1）（幂函数的增长快于对数函数增长）； （2）（高阶增长快于低阶增长）； （3）（指数函数增长快于幂函数和对数函数增长） 2.时； （1）（高阶增长快于低阶增长）； （2）（可转化为形式） 【考点分类】 考点一、函数的渐近线问题； 【例1-1】（2015-2016海淀一模文20）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的零点和极值； （Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）因为，.所以..因为，所以曲线在处的切线方程为...（Ⅱ）令，解得，所以的零点为..由解得，则及的情况如下： 0 极小值 .所以函数在时,取得极小值 .（Ⅲ）法一： 当时，.当时，..若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，.所以“对任意，有恒成立”等价于 即，解得.所以的最小值为1.法二： 当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，令，则 而，不符合要求，所以.当时，,所以，即满足要求，综上，的最小值为1..法三： 当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，即时，令则任取,有 所以对成立，所以必有成立，所以，即.而当时，,所以，即满足要求，而当时，求出的的值，显然大于1，综上，的最小值为1.【例1-2】（2016-2017海淀期中理19）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值.【答案】 【例1-3】（2009-2010西城一模理19） 已知函数，其中，其中 （I）求函数的零点； （II）讨论在区间上的单调性； （III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）解，得，所以函数的零点为.（Ⅱ）函数在区域上有意义，令，得，因为，所以，.当在定义域上变化时，的变化情况如下： ↗ ↘ 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.（Ⅲ）在区间上存在最小值.证明：由（Ⅰ）知是函数的零点，因为，所以，1 由知，当时，1 又函数在上是减函数，且，所以函数在区间上的最小值为，且，所以函数在区间上的最小值为，计算得.【练1-1】（2009-2010西城一模文20）已知函数其中。 （I）若函数存在零点，求实数的取值范围； （II）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。 【答案】（I）或； （II），得或，在，单调增加；在单调减少，此时，存在最小值.的极小值为，根据的单调性，在区间上的最小值为.解=0，得的零点为和，结合，可得在区间和，因为，所以； 并且，即.所以，当时，存在最小值，最小值为.【练1-2】（2011-2012西城二模理19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：当时，． 由，得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下： ↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是.【练1-3】（2008-2009海淀二模18）已知：函数（其中常数）.（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间； （Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为..由，解得.由，解得且． ∴的单调递增区间为，单调递减区间为，.（Ⅱ）由题意可知，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立.若即时，x a+1 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴在上的最小值为． 则，得． 若即时，在上单调递减，则在上的最小值为． 由得（舍）． 综上所述，． 例7.（12西城二模理科19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】当时，． 由，得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下： ↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是． 考点二、函数的间断点问题； 【例2-1】（2015-2016西城二模理18）设,函数； （1）若函数在（0，f(0)）处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值 （2）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围； 【答案】（Ⅰ）证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以.求导，得.由题意，得，解得.验证知符合题意.（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”． ① 当时，由，得无最小值，符合题意． ② 当时，令，得 或 .随着x的变化时，与的变化情况如下： 不存在0 ↘ 不存在↗ 极大 ↘ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 9分 因为当时，当时，所以只要考虑，且即可． 当时，由在上单调递减，且，得，所以存在，使得，符合题意； 同理，当时，令，得，也符合题意； 故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立． ③ 当时，随着x的变化时，与的变化情况如下表： 0 不存在↘ 极小 ↗ 不存在↘ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 因为当时，当时，所以． 所以当时，不存在使得． 综上所述，a的取值范围为.【例2-2】（2015-2016西城二模文19）已知函数 （1）若，求a的值 （2）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】(Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或 随着的变化，与的变化情况如下表： 0 不存在极小 不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【练2-1】（2012-2013海淀期末理18）已知函数 （I） 当时,求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】当时，又，所以在处的切线方程为 （II） 当时，又函数的定义域为 所以的单调递减区间为 当 时，令，即，解得 当时，所以，随的变化情况如下表 无定义 0 极小值 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，所以，随的变化情况如下表： 0 无定义 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，【练2-2】（2012-2013门头沟一模文16）已知函数，其中． （Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值； （Ⅱ）求的单调区间． 【答案】（Ⅰ）． 依题意，由，得． 经检验，符合题意． （Ⅱ）① 当时，． 故的单调减区间为，；无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；单调增区间为． ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间． 【练2-3】（2012-2013西城期末理18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）① 当时，． 故的单调减区间为，；无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；单调增区间为． ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间． （Ⅱ）解：因为，所以 等价于，其中． 设，在区间上的最大值为． 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是．。 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、超越函数的定义 超越函数：指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数，指数函数等就属于超越函数。 二、判断超越函数零点存在性的方法 1.图像 根据基本初等函数的图像是否存在交点判断。 2.特殊点 带入特殊点判断：如 0，1，-1，e等 3.单调性与切线 利用单调性和切线判断 4.极限 通过函数的极限判断 特殊点的取法与目的【考点分类】 考点一、利用特殊点法求解（无参数的超越函数） 含有的函数：常取等 含有的函数：常取等 终极目的：消参，有理化，最终简单化 【例1-1】求的零点。 【例1-2】求的零点。 考点二、取特值法解不等式（含参，可以参变分离） 【例2-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数． （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 解：设切点为，则切线斜率，切线方程为． 因为切线过点，则． 即． 令，则 ． 当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为． 令>0,解得 取，则． 故在上存在唯一零点． 不等式放缩部分（解法探究） 标答 取，则 ． 设，则． 当时，恒成立． 所以在单调递增，恒成立．所以． 故在上存在唯一零点． 因此当时，过点P存在两条切线． （3）当时，显然不存在过点P的切线． 综上所述，当时，过点P存在两条切线； 当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分 考点三、利用切线求解； 【例3-1】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则． 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点； 又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法： 综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.考点四、利用函数放缩求解； 【例4-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ） 当时，讨论函数的零点个数.解：（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点； （ⅱ）当时，即时，有一个零点； （ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(4) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． （ⅰ）令，得． 令,得，所以函数在单调递增． 令,得，所以函数在单调递减． 所以，． 所以成立． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 设所以． 令，得． 令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减； 所以，即． 所以，即． 所以，方程没有实数解． 【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． （Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立． 设，得，当时，所以 在上单调递减，所以 时，． 因为恒成立，所以． （Ⅲ）当时，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时，恒成立． 所以时，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时，令，得，所以的单调增区间是； 令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间是，的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为，所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解： （1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时，可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且． 当时，要使成立，只需，解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-3】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分 解得，-----------------------------------5分 （Ⅱ）法1： 对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分 令，----------------------------------------7分 ①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分 ②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，-------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是； 综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分 由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练1-4】若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决． 解：原不等式等价于．当时，显然成立； 当时，因为，所以，则有恒成立，只需． 因为,当，即时取“=”，即，所以． 评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件． 【练1-5】（2012-2013西城第一学期期末18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】分析：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？ 我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法： （Ⅱ）解：因为，所以 等价于，其中． …………9分 设，在区间上的最大值为．…………11分 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是． ………………13分 小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。 【练1-6】（2012-2013朝阳期末18）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固） 【练1-7】（2006天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】 考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论； 【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围． 【答案】分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可． 解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有． 评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益． 【例2-2】（2012-2013通州期末19）已知函数 （Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值； （Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值． 【答案】分析：该题（Ⅱ）初步转化为 对任意，都成立 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。 【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。 【答案】分析：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。 例2-4.（2010崇文一模理）设奇函数上是增函数，且，若函数 对所有的都成立，当时，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。 考点一、无零点 【例 1-1】（16年房山二模文科）已知函数 （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。 当时，显然无零点，符合题意； 当时，令 极小值，显然不符合题意； 当时，令 极大值，所以时，符合题意 综上所述： 【练 1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点 【例 2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增; 且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增; 又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点 【练 2-1】（2012年房山一模18）已知函数． （III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点． ………10分 当时，由（II）问知，又，为的一个零点． ……11分 若在恰有两个零点，只需 即 ………13分 【练 2-2】（13年昌平二模理科）已知函数 (Ⅱ)求在区间上的最小值; (III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则 ∴ 即,此时,.所以,的取值范围为 考点三、两个零点 【例 3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】 【练 3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论） 考点四、线上下线问题 【例 4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程； 方程为 (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练 4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下： 0 0 + 极小值 所以的最小值为，实数b的取值范围是． 导数专题十、极值点偏移问题 【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，则（B） A．当时，B.当时，C.当时，D.当时，【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（D） A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（B） A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例4】（2010东城二模）已知函数． (Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围； (Ⅱ) 设，且，求证：． 解：(Ⅰ) ．………………………………………3分 因为在上为单调增函数，所以在上恒成立． 即在上恒成立． 当时，由，得． 设，． ． 所以当且仅当，即时，有最小值． 所以． 所以． 所以的取值范围是．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设，则． 要证，只需证，即证． 只需证．……………………………………………………………11分 设． 由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，所以． 即成立． 所以．………………………………………………………………14分 【例5】（2010天津）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，.（Ⅲ）如果，且，证明：.解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () () f’(x) + 0 f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，所以>,即>2.【例6】（2011辽宁）已知函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当 时，； （Ⅲ）若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.解：（I） （i）若单调增加.（ii）若 且当 所以单调增加，在单调减少.………………4分 （II）设函数则 当.故当，………………8分 （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为 不妨设 由（II）得 从而 由（I）知，………………12分 【例7】（2013湖南文）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）证明：当 时，.解: (Ⅰ) .所以,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) f(-x)即可...【例8】（2016新课标I）已知函数有两个零点.(I)求的取值范围； (II)设是的两个零点，证明： 解：（Ⅰ）． （i）设,则,只有一个零点． （ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增． 又，取满足且,则,故存在两个零点． （iii）设,由得或． 若,则,故当时，因此在上单调递增．又当时，所以不存在两个零点． 若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时，所以不存在两个零点． 综上,的取值范围为． （Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知，在上单调递减,所以等价于,即． 由于,而,所以 ． 设,则． 所以当时，而,故当时,． 从而,故． 【例9】已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数； （2）若有两个零点，证明： 【例10】设函数． （1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值； （3）若方程有两个不相等的实数根，求证：． 【例11】设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2． （1）求的取值范围； （2）证明：（为函数的导函数） 【例12】已知函数，（1）若，求证：函数有极值； （2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证： 【例13】已知函数，求证：有唯一零点的充要条件a=e 【例14】函数的图像与x 轴交于不同的两点、，求证： 【例15】已知函数 （Ⅰ）（Ⅱ）略 （Ⅲ）当 时，函数的图像与x 轴交于不同的两点、，且，又 是的导函数。若正常数α、β满足条件。证明： 导数专题十一、构造函数解决导数问题 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值； 【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方； 【练1-5】.已知函数； （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。 【练1-6】已知函数； （1）求的极小值； （2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围； 答案： 考点二、从条件特征入手构造函数证明 【例2-1】若函数 在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。 【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（） A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。 【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。 【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C A.B.C.D.【练2-5】 设是上的可导函数，且，求的值。 【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（） A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。 （二）关系式为“减”型 （1），构造； （2），构造； （3），构造； （注意对的符号进行讨论） 考点三、变形构造函数 【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。 【例3-2】已知函数； （1）求函数的单调区间与极值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【练3-1】设为曲线在点处的切线。 （1）求的方程； （2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方； 【练3-2】已知函数； （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时，求证：； 【练3-3】已知函数，其中； （1）求的单调区间； （2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值； 【练3-4】，（1）讨论的单调情况； （2）设，对．求证：． 【练3-5】已知函数； （1）求的单调区间； （2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证： 考点四、消参构造函数 【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同； （1）若点的坐标为，求的值； （2）已知，求切点的坐标。 【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且 （Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性； （Ⅱ）证明： 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(5) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(6) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(7) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(8) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(9) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(10) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(11) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则
